一、递归

学习树离不开递归。

1.1 介绍

递归是一种解决问题的方法，它解决问题的各个小部分，直到解决最初的大问题。递归通常涉及函数调用自身。

通俗的解释：年级主任需要知道某个年级的数学成绩的平均值，他没法直接得到结果；年级主任需要问每个班的数学老师，数学老师需要问班上每个同学；然后再沿着学生-->老师-->主任这条线反馈，才能得到结果。递归也是如此，自己无法直接解决问题，将问题给下一级，下一级若无法解决，再给下一级，直到有结果再依次向上反馈。

我们常见的使用递归解决的问题，如下：

// 斐波拉契数列
function fibo(n) {
    if (n === 0 || n === 1) return n; // 边界
    return fibo(n - 1) + fibo(n - 2);
}
// 阶乘
function factorial(n) {
    if (n === 0 || n === 1) return 1; // 边界
    return facci(n - 1) * n;
}

他们有共同的特点，也是递归的特点：

1. 有边界条件，防止无限递归
2. 函数自身调用

1.2 高效递归的两个方法

以斐波拉契数列举例，下面是n=6时斐波拉契数列的计算过程。

我们可以发现，这里面存在许多重复的计算，数列越大重复计算越多。

如何避免呢？利用缓存，将fib(n)计算后的值存储，后面使用时，若存在直接取用，不存在则计算

（1）缓存Memoizer

const fibo_memo = function() {
  const temp = {0: 0, 1: 1}; // 需要用闭包缓存
  return function fib(n) {
      if (!(n in temp)) { // 缓存中无对应数据时，向下计算查找
          temp[n] = fib(n - 1) + fib(n - 2);
      }
      return temp[n];
  }
}()

（2）递推法（动态规划）

动态规划并不属于高效递归，但是也是有效解决问题的一个方法。

动态规划：从底部开始解决问题，将所有小问题解决掉，然后合并成一个整体解决方案，从而解决掉整个大问题；
递归：从顶部开始将问题分解，通过解决掉所有分解的小问题来解决整个问题；

使用动态规划解决斐波那契数列

function fibo_dp(n) {
    let current = 0;
    let next = 1;
    for(let i = 0; i < n; i++) {
        [current, next] = [next, current + next];
    }
    return current;
}

（3）效率对比

const arr = Array.from({length: 40}, (_, i) => i);

// 普通
console.time('fibo');
arr.forEach((e) => { fibo(e); });
console.timeEnd('fibo');

// 缓存
console.time('fibo_memo');
arr.forEach((e) => { fibo_memo(e); });
console.timeEnd('fibo_memo');

// 动态规划
console.time('fibo_dp');
arr.forEach((e) => { fibo_dp(e); });
console.timeEnd('fibo_dp');

// 打印结果【40】
fibo: 1869.665ms
fibo_memo: 0.088ms
fibo_dp: 0.326ms
// 当打印到【1000】时，普通的已溢出
fibo_memo: 0.370ms
fibo_dp: 16.458ms

总结：从上面的对比结果可知，使用缓存的性能最佳

二、树

一个树结构包含一系列存在父子关系的节点。每个节点都有一个父节点(除了顶部的第一个节点)以及零个或多个子节点:

2.1 相关术语

• 节点：树中的每个元素都叫作节点；
• 根节点：位于树顶部的节点叫作根节点；
• 内部节点/分支节点：至少有一个子节点的节点称为内部节点或；
• 外部节点/叶节点：没有子元素的节点称为外部节点或叶节点；
• 子女节点：7和15为11的子女节点
• 父节点：11为7和15的父节点
• 兄弟节点：同一个父节点的子女节点互称为兄弟；7和15互为兄弟节点
• 祖先节点：从根节点到该节点所经过分支上的所有节点；如节点3的祖先节点为 11，7，8
• 子孙节点：以某一节点构成的子树，其下所有节点均为其子孙节点；如12和14为13的子孙节点
• 节点所在层次：根节点为1层，依次向下
• 节点的度：树中距离根节点最远的节点所处的层次就是树的深度；上图中，树的深度是4
• 节点的度：结点拥有子结点的数量；
• 树的度：树中节点的度的最大值；
• 有序树
• 无序树

关于数的深度和高度的问题，不同的教材有不同的说法，具体可以参考树的高度和深度以及结点的高度和深度这篇文章

2.2 认识二叉搜索树BST

2.2.1 定义

二叉树是树的一种特殊情况，每个节点最多有有两个子女，分别称为该节点的左子女和右子女，就是说，在二叉树中，不存在度大于2的节点。

二叉搜索树(BST)是二叉树的一种，但是它只允许你在左侧节点存储(比父节点)小的值， 在右侧节点存储(比父节点)大(或者等于)的值。

上图展示的便是二叉搜索数

2.2.2 特点

• 同一层，数值从左到右依次增加
• 以某一祖先节点为参考，该节点左侧值均小于节点值，右侧值均大于节点值
• 在二叉树的第i(i>=1)层，最多有x^(i-1)个节点
• 深度为k(k>=0)的二叉树，最少有k个节点，最多有2^(k-1)个节点
• 对于一棵非空二叉树，叶节点的数量等于度为2的节点数量加1

满二叉树：深度为k的满二叉树，是有2^(k-1)个节点的二叉树，每一层都达到了可以容纳的最大数量的节点

2.2.3 基础方法

• insert(key): 向树中插入一个新的键；
• inOrderTraverse: 通过中序遍历方式遍历所有节点
• preOrderTraverse: 通过先序遍历方式遍历所有节点
• postOrderTraverse: 通过后序遍历方式遍历所有节点
• getMin: 返回树中最小的值/键
• getMax: 返回树中最大的值/键
• find(key): 在树中查找一个键，如果节点存在则返回该节点不存在则返回null；
• remove(key): 从树中移除某个键

2.3 BST的实现

2.3.1 基类

// 基类
class BinaryTreeNode {
  constructor(data) {
    this.key = data;
    this.left = null;
    this.right = null;
  }
}

下图展现了二叉搜索树数据结构的组织方式：

2.3.2 BST类

//二叉查找树（BST）的类
class BinarySearchTree {
  constructor() {
    this.root = null; // 根节点
  }
  
  insert(){} // 插入节点
  preOrderTraverse(){} // 先序遍历
  inOrderTraverse(){} // 中序遍历
  postOrderTraverse(){} // 后序遍历
  search(){} // 查找节点
  getMin(){} // 查找最小值
  getMax(){} // 查找最大值
  remove(){} // 删除节点
}

2.3.3 insert方法

insert某个值到树中，必须依照二叉搜索树的规则【每个节点Key值唯一，最多有两个节点，且左侧节点值<父节点值<右侧节点值】

不同情况具体操作如下：

• 根节点为null，直接赋值插入节点给根节点；
• 根节点不为null，按照BST规则找到left/right为null的位置并赋值

insert(key) {
  const newNode = new BinaryTreeNode(key);
  if (this.root !== null) {
    this.insertNode(this.root, newNode);
  } else {
    this.root = newNode;
  }
}

insertNode(node, newNode) {
  if (newNode.key < node.key) {
    if (node.left === null) {// 左侧
      node.left = newNode;
    } else {
      this.insertNode(node.left, newNode);
    }
  } else {
    if (node.right === null) {// 右侧
      node.right = newNode;
    } else {
      this.insertNode(node.right, newNode);
    }
  }
}

下图为在已有BST的基础上插入值为6的节点，步骤如下：

1. 有无根节点？有；对比根节点值（6<11），根节点左侧判断；
2. 第二层左侧节点是否为null？不为；对比第二层左侧节点的值（6<7），继续左侧判断；
3. 第三层左侧节点是否为null？不为；对比第三层左侧节点的值（6>5），以右侧判断；
4. 第四层右侧节点是否为null？为；插入该处

2.3.4 树的遍历

树的遍历，核心为递归：根节点需要找到其每一个子孙节点，但是并不知道这棵树有多少层。因此，它找到其子节点，子节点也不知道，依次向下找，直到叶节点。

访问树的所有节点有三种方式:中序、先序和后序。下面依次介绍

（1）中序遍历

中序遍历是一种以上行顺序访问BST所有节点的遍历方式，也就是以从最小到最大的顺序访问所有节点。中序遍历的一种应用就是<u>对树进行排序操作</u>

inOrderTraverse(callback) {
  this.inOrderTraverseNode(this.root, callback);
}

inOrderTraverseNode(node, callback) {
  if (node !== null) {
    this.inOrderTraverseNode(node.left, callback);
    callback(node.key);
    this.inOrderTraverseNode(node.right, callback);
  }
}

下面的图描绘了中序遍历方法的访问路径:

（2）先序遍历

先序遍历是以优先于后代节点的顺序访问每个节点的。先序遍历的一种应用是<u>打印一个结构化的文档</u>

preOrderTraverse(callback) {
  this.preOrderTraverseNode(this.root, callback);
}

preOrderTraverseNode(node, callback) {
  if (node !== null) {
    callback(node.key);
    this.preOrderTraverseNode(node.left, callback);
    this.preOrderTraverseNode(node.right, callback);
  }
}

下面的图描绘了先序遍历方法的访问路径:

（3）后序遍历

后序遍历则是先访问节点的后代节点，再访问节点本身。后序遍历的一种应用是<u>计算一个目录和它的子目录中所有文件所占空间的大小</u>

postOrderTraverse(callback) {
  this.postOrderTraverseNode(this.root, callback);
}

postOrderTraverseNode(node, callback) {
  if (node !== null) {
    this.postOrderTraverseNode(node.left, callback);
    this.postOrderTraverseNode(node.right, callback);
    callback(node.key);
  }
}

下面的图描绘了后序遍历方法的访问路径：

2.3.5 查找方法

（1）最值
观察下图，我们可以非常直观的发现左下角为最小值，右下角为最大值

具体代码实现如下

getMin() {
  const ret = this.getMinNode();
  return ret && ret.key;
}

getMinNode(node = this.root) {
  if (node) {
    while (node && node.left !== null) {
      node = node.left;
    }
  }
  return node;
}

getMax() {
  const ret = this.getMaxNode();
  return ret && ret.key;
}

getMaxNode(node = this.root) {
  if (node) {
    while (node && node.right !== null) {
      node = node.right;
    }
  }
  return node;
}

（2）find()方法

递归找到与目标key值相同的节点，并返回；具体实现如下：

find(key) {
  return this.findNode(this.root, key);
}

findNode(node, key) {
  if (node === null) {
    return null;
  }
  if (key < node.key) {
    return this.findNode(node.left, key);
  }
  if (key > node.key) {
    return this.findNode(node.right, key);
  }
  return node;
}

2.3.6 remove()方法

移除节点是这一类方法中最为复杂的操作，首先需要找到目标key值对应的节点，然后根据不同的目标节点类型需要有不同的操作

remove(key) {
  return this.removeNode(this.root, key);
}

removeNode(node, key) {
  if (node === null) {
    return null;
  }
  if (key < node.key) { // 目标key小于当前节点key，继续向左找
    node.left = this.removeNode(node.left, key);
    return node;
  }
  if (key > node.key) { // 目标key小于当前节点key，继续向右找
    node.right = this.removeNode(node.right, key);
    return node;
  }

  // 找到目标位置
  if (node.left === null && node.right === null) { // 目标节点为叶节点
    node = null;
    return node;
  }
  if (node.right === null) { // 目标节点仅有左侧节点
    node = node.left;
    return node;
  }
  if (node.left === null) { // 目标节点仅有右侧节点
    node = node.right;
    return node;
  }

  // 目标节点有两个子节点
  const tempNode = this.getMinNode(node.right); // 右侧最小值
  node.key = tempNode.key;
  node.right = this.removeNode(node.right, node.key);
  return node;
}

目标节点为叶节点图例：子节点赋值为null，并将目标节点指向null

目标节点为仅有左侧子节点或右侧子节点图例：将目标节点的父节点指向子节点

目标节点有两个子节点：根据BST的构成规则，以目标节点右侧树最小值替换重新连接

链接: https://www.fly63.com/article/detial/2325